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Regla de Ruffini
Ruffini, matemático italiano, ideó a finales del siglo XVII un algoritmo para obtener fácilmente el cociente C(x) y el resto R(x), al dividir un polinomio P(x) por un binomio de la forma (x - a)

Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos:

y

La división se realiza como sigue:

1. Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término.
Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.
A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la Figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1).
El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2.

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

El Resto es 5 y por tanto


La regla de Ruffini sólo se puede aplicar para divisores del tipo (x - a) o (x + a), es decir, para polinomios de grado 1, donde el coeficiente de x sea 1.

Si el divisor fuese del tipo (-x - a) o (-x + a):



cambiamos de signo todos los términos de la división y obtenemos como divisor un polinomio del tipo (x - a) o (x + a), pudiendo entonces aplicar la regla de Ruffini.

Un algoritmo general de tipo Ruffini para la división de polinomios arbitrarios

Muy probablemente recordarás con cierto estupor aquellas soporíferas clases de matemáticas en los primeros años de la educación secundaria dedicadas a la división de polinomios.

Estoy seguro de que tu gusto por las matemáticas no se debe precisamente a la división de polinomios.
¡Cuánto tiempo dedicado amultiplicar y dividir potencias de la variable independiente x!
¡Y aquellos fastidiosos cambios de signo en los coeficientes!

Recordarás además aquella estupenda regla de Ruffini (también conocida como algoritmo de Horner) que, entre otras muchas cosas, permitía realizar de modo inmediato divisiones de polinomios en las que el polinomio divisor era de grado uno.

Con este algoritmo tan maravilloso a nuestra disposición, es muy probable que tú mism@ te preguntaras por qué no se nos facilitaba en clase un algoritmo similar para realizar las tediosas divisiones de polinomios sin tener que recurrir a las potencias de la dichosa variable x y a los incordios cambios de signo en los coeficientes que surgen en el algoritmo usual de la división.
¡Cuántas veces habremos cometido errores inocentes en este proceso, echando al traste parte del trabajo realizado anteriormente!

Con este artículo pretendemos que aprendas a dividir polinomios en general por medio de un método algorítmico que generaliza de modo natural la regla de Ruffini.

A modo de ejemplo introductorio consideremos la división (cociente de grado 2 y resto de grado 0) por medio de la regla de Ruffini.

que, como es sabido, nos da un cociente C(x)=2x-5x+11 y un resto R(x)=-27.

Pues bien, presentamos ahora un algoritmo general al estilo de la regla de Ruffini que permite realizar divisiones de polinomios cualesquiera con un costo computacional bajo.

Antes de justificar teóricamente el algoritmo general, presentamos cinco ejemplos como ilustración del algoritmo.

En todo momento asumiremos, sin pérdida de generalidad, que el polinomio divisor tiene coeficiente director igual a 1 (en otro caso, bastaría con dividir todos los coeficientes del polinomio dividendo y del polinomio divisor por el valor de dicho coeficiente).

Aconsejamos la realización paso a paso de las tablas que aparecen abajo para una mejor comprensión del algoritmo.

Si se simultanea la realización de las tablas con el proceso de división de polinomios usual se entenderá la relación que existe entre el proceso usual y las diagonales inversas de las tablas.

Tal vez los detalles que sean de mayor complejidad en la configuración de las tablas son las posiciones nulas (cuadros negros) que aparecen en las mismas.

En general, a la hora de configurar las tablas para desarrollar el algoritmo de división, notaremos que si el divisor tiene grado k+1, con , entonces deben ubicarse k(k+1) posiciones vacías (o nulas), separadas simétricamente en dos grupos triangulares de k(k+1)/2 cuadros, que no deben tenerse en cuenta a la hora de realizar operaciones en la tabla.

En particular, si el divisor es de grado 1 entonces no se insertarán posiciones vacías en la tabla.
La realización de las divisiones por el proceso usual nos hace ver por qué deben aparecer estas posiciones nulas en las tablas.

Ejemplo 1:
Dividir:

Sabemos a priori que el proceso nos conducirá a un resto de grado 1 y a un cociente de grado 0.

Formamos entonces una tabla al estilo Ruffini, en cuya fila superior se colocan los coeficientes del dividendo (de mayor grado a menor grado) y en cuya primera columna se colocan los coeficientes del divisor cambiados de signo (de menor grado a mayor grado), exceptuando el coeficiente director (que vale 1).

A continuación se inicia el proceso usual de la regla de Ruffini.

En caso de que el grado del divisor sea mayor o igual que 2, notamos que al realizar la tabla quedan posiciones vacías en las primeras columnas.

Estas posiciones deben situarse simétricamente en el tablero (es decir, también habrán posiciones vacías en las últimas columnas de tablero) y no deben considerarse a efectos operacionales.

Se comprueba entonces que efectivamente el cociente de la división es C(x)=3 y el resto R(x)=5x-5.


Ejemplo 2:
Dividir:



Sabemos que el proceso nos conducirá a un resto de grado 1 y a un cociente de grado 1.

Colocamos los coeficientes convenientemente en la tabla y realizamos el mismo proceso anterior.

Observemos la disposición simétrica de las casillas nulas en la tabla.

Así, el cociente será C(x)=1x+0=x, y el resto R(x)=0x-1=-1.





Ejemplo 3:
Dividir:




En este caso, el proceso nos conducirá a un resto de grado 2 y a un cociente de grado 2.

Podemos comprobar que efectivamente el resto de la división es R(x)=1152-1077+380, mientras que el cociente viene dado por C(x)=5+31+190.





Ejemplo 4:
Dividir:



El proceso debe conducirnos a un resto de grado 3 y a un cociente de grado 1.


El proceso indica que el cociente es C(x)=3x+5, mientras que el resto viene dado por













Ejemplo 5:
Dividir:

De esta manera el cociente será y el resto


Practicando la Regla de Ruffini.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.